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三个月算法进阶--day17

初识动态规划

leetcode第53题最大子序和

贪心小试牛刀

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        ans = nums[0]
        res = ans
        for i in range(1, len(nums)):
            if ans <= 0:
                ans = nums[i]
            else:
                ans += nums[i]
            res = max(ans, res)
        return res

动态规划转移方程

$$ f(i) = max\lbrace{f(i-1) + a_i, a_i}\rbrace $$

记录

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        res = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            nums[i] = max(nums[i-1] + nums[i], nums[i])
            res = max(nums[i], res)
        return res

线段树

分治

function Status(l, r, m, i) {
    this.lSum = l;
    this.rSum = r;
    this.mSum = m;
    this.iSum = i;
}

const pushUp = (l, r) => {
    const iSum = l.iSum + r.iSum;
    const lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum + r.lSum);
    const rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum + l.rSum);
    const mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum + r.lSum);
    return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);
}

const getInfo = (a, l, r) => {
    if (l === r) return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]);
    const m = (l + r) >> 1;
    const lSub = getInfo(a, l, m);
    const rSub = getInfo(a, m + 1, r);
    return pushUp(lSub, rSub);
}

var maxSubArray = function(nums) {
    return getInfo(nums, 0, nums.length - 1).mSum;
};

递归三定律

递归体现了分治策略

分封制

递归改进–消除重复计算

memo,记录中间结果

memoization,记忆化/函数值缓存/备忘录技术

贪心策略失效

特殊货币体系

优化问题

使用动态规划的必要条件

问题的最优解包含了更小规模子问题的最优解。

动态规划是高效非递归解法

从简单情况开始,每一步都依靠以前的最优解,直到得到答案。

逐步递加,保持每次的递加都是最优解。